APLICACIÓN DEL MOVIMIENTO CIRCULAR

¿POR QUÉ NO SE CAE LA PEONZA MIENTRAS ESTÁ GIRANDO?

Millares de personas han jugado en su infancia a "bailar" la peonza o la perinola, pero pocas de ellas son las que pueden contestar bien a esta pregunta. Y en realidad, ¿qué explicación se le puede dar al hecho de que una peonza en rotación, situada en posición vertical o inclinada, no se caiga? ¿Qué fuerza la mantiene en esa posición aparentemente inestable? ¿A caso no actúa sobre ella la gravedad?

En este juguete se produce una interacción de fuerzas muy interesante. La teoría de la peonza es bastante compleja y no es nuestro propósito profundizar en ella, pero sí queremos dar a conocer la causa principal de que la peonza no se caiga mientras está girando.

En la Figura1 se representa una perinola que gira en la dirección que indican las flechas. Prestemos atención a la parte A de su borde y a la parte B, opuesta a aquélla. La parte A tiende a moverse alejándose de nosotros; la B, por el contrario, tiende a acercarse a nosotros. Veamos ahora qué movimiento reciben estas partes si empujamos hacia abajo el borde de la perinola para que se incline hacia nosotros.

Al hacer esto obligamos a la parte A a moverse hacia arriba y a la B a moverse hacia abajo; la dirección del empuje forma un ángulo recto con el movimiento propio de estas partes.

 Figura 1. ¿Por qué no se cae la perinola?

Pero como la perinola gira rápidamente y la velocidad circular que tienen las partes del disco es muy grande, la nueva velocidad que le comunicamos al hacer que se incline es insignificante en comparación con la que ya tenía, por eso se suma a ella, produciendo una velocidad resultante, que se aproxima mucho a la circular, y el movimiento de la perinola casi no varía. Esto explica por qué la perinola (o la peonza) parece que se resiste a que la vuelquen. Cuanto más pesada sea la peonza y más rápidamente gire, tanta más resistencia opone a ser volcada.

La esencia de esta explicación está relacionada directamente con la ley de la inercia. Cada una de las partículas de la peonza se mueve, describiendo una circunferencia, en un plano perpendicular al eje de giro.

Figura 2. Si se echa por alto una perinola en rotación, su eje conserva la dirección que tenia.

Por la ley de la inercia, cada una de estas partículas tiende en cada instante a salirse de la circunferencia siguiendo una línea recta tangente a aquélla. Pero cada una de estas tangentes se encuentra en el mismo plano que la circunferencia; por lo tanto, cada partícula tiende a moverse sin abandonar el plano perpendicular al eje de giro en que se halla. De aquí se deduce que todos los planos de la peonza, perpendiculares al eje de rotación, tienden a conservar su posición en el espacio y por esto, la perpendicular común a todos ellos, es decir, el propio eje de rotación, también tiende a conservar su dirección.

Los movimientos que pueden provocar en la peonza las fuerzas exteriores son muy variados y no vamos a examinarlos. Esto exigiría explicaciones demasiado detalladas que resultarían aburridas. Mi propósito se reducía a aclarar por qué todos los cuerpos que giran tienden a conservar invariable la dirección de su eje de rotación.

  Figura 3 izquierda. Así cae una moneda si se echa hacia arriba girando alrededor de su eje. Figura 3 derecha. Si la moneda se echa hacia arriba sin rotación puede caer de cualquier manera.

Esta propiedad tiene gran importancia en la técnica moderna en los barcos y aviones modernos se instalan aparatos giroscópicos (basados en las propiedades de la peonza), como son las brújulas, los autopilotos, los estabilizadores, etc. El efecto de giro sirve también para estabilizar las trayectorias de los proyectiles y de las balas. Este mismo efecto se utiliza para estabilizar el movimiento de los cohetes cósmicos y de los satélites artificiales. Todas éstas son aplicaciones prácticas de lo que parecía un simple juguete.

APLICACIONES DE LAS FUERZAS

EL PROBLEMA DEL CISNE, EL CANGREJO Y EL LUCIO

Una de las fábulas más conocidas de I. A. Krylov es "El cisne, el cangrejo y el lucio"[1]. En ella se cuenta como un cisne, un cangrejo y un lucio se pusieron de acuerdo para tirar de un carro cargado. Pero lo más probable es que a nadie se le haya ocurrido estudiar esta fábula desde el punto de vista de la Mecánica. Y sin embargo el resultado que se obtiene no coincide con el que piensa Krylov.

Se nos plantea un problema de Mecánica en el que hay que componer varias fuerzas que actúan formando determinados ángulos entre sí. Las direcciones de estas fuerzas vienen definidas por la propia fábula:

El cisne tira hacia las nubes,

El cangrejo hacia atrás, y el lucio al agua.

Figura 13. El problema de] cisne, el cangrejo y el lucio resuelto por las reglas de la Mecánica. La resultante (OD) debe hacer que el carro vaya hacia el río

Esto quiere decir (Figura 13) que una fuerza, es decir, la del cisne, está dirigida hacia arriba; otra, la del lucio (OB), hacia un lado, y la tercera, la del cangrejo (OC), hacia atrás. Pero no podemos olvidar que existe otra fuerza, el peso del carro cargado, que está dirigida verticalmente hacia abajo. Según la fábula "el carro hasta ahora está en el mismo sitio", es decir, que la resultante de todas las fuerzas aplicadas a él es igual a cero.

Veamos si esto es así. El cisne, al tirar hacia las nubes, no estorba el trabajo que realizan el cangrejo y el lucio; al contrario, lo hace más fácil, puesto que su fuerza está dirigida en sentido contrario al de la gravedad y, por consiguiente, disminuye el rozamiento de las ruedas con la tierra y con sus ejes y alivia el peso del carro o lo equilibra por completo (puesto que la fábula dice que "para ellos liviana parecía la carga"). Admitiendo, para simplificar, este último caso, vemos que quedan únicamente dos fuerzas: la del cangrejo y la del lucio.

Sobre las direcciones de estas dos fuerzas sabemos que "el cangrejo tira hacia atrás, y el lucio al agua". Está claro que el agua no puede estar delante del carro, sino a uno de sus lados (puesto que los "trabajadores" de Krylov no se proponían tirarlo al agua). Por lo tanto, las fuerzas del cangrejo y del lucio forman un ángulo entre sí. Pero si dos fuerzas aplicadas a un cuerpo no están en línea recta su resultante no puede ser igual a cero.

Procediendo de acuerdo con las reglas de la Mecánica, construyamos sobre las fuerzas OB y OC el paralelogramo, cuya diagonal OD nos da la dirección y la magnitud de la resultante. Es evidente que esta resultante debe hacer que se mueva el carro, sobre todo si su peso ha sido equilibrado en todo o en parte por el cisne. Nos queda por determinar hacia dónde se mueve el carro: hacia adelante, hacia atrás o de costado. Esto depende de la relación que exista entre las fuerzas y de las magnitudes que tengan los ángulos que forman entre sí.

Los lectores que tengan cierta práctica en la composición y descomposición de fuerzas pueden analizar fácilmente el caso en que el cisne no equilibra por completo el peso del carro; después de hacerlo quedarán convencidos de que en este caso tampoco puede permanecer inmóvil el carro. Solamente existe un caso en que el carro no se movería al ser solicitado por estas tres fuerzas: cuando el rozamiento de las ruedas con sus ejes o con la carretera es mayor que la resultante de las fuerzas aplicadas. Pero esto se contradice con la afirmación de que "para ellos liviana parecía la carga".

En todo caso Krylov no tenía motivo para asegurar que "el carro sigue sin moverse" y que "... hasta ahora está en el mismo sitio". Sin embargo la moraleja de la fábula sigue siendo cierta.

APLICACIÓN DE LA PROPULSIÓN

¿CÓMO SE MUEVE LA JIBIA?

Quizá parezca extraño oír que hay muchos animales para los que el presunto "levantarse a sí mismos tirándose de los pelos" es el procedimiento ordinario de trasladarse en el agua.

La jibia, lo mismo que la mayoría de los moluscos cefalópodos, se mueve en el agua de la forma siguiente: el agua entra en su cavidad bronquial, a través de una abertura lateral y de un embudo especial que tienen en la parte delantera del cuerpo, y después es expulsada enérgicamente, en forma de chorro, a través de este mismo embudo (sifón). Al ocurrir esto, debido a la ley de la reacción, el animal recibe un empuje en sentido contrario que es suficiente para que pueda "nadar" bastante de prisa hacia atrás, es decir, con la parte posterior del cuerpo hacia adelante. La jibia puede también dirigir el sifón hacia un lado o hacia atrás, en cuyo caso, al expeler rápidamente el agua, se mueve en cualquier dirección.

Figura 1. Así nada la jibia

En esto mismo se basa el movimiento de las medusas. Estas últimas contraen sus músculos y de esta forma expulsan de su cuerpo acampanado el agua, con lo que reciben el empuje en dirección contraria. Procedimientos análogos emplean para trasladarse las salpas, las larvas de las libélulas (caballitos del diablo) y otros animales acuáticos.

¡Y nosotros dudábamos de que fuera posible moverse así!

APLICACIÓN DE FUERZAS DE ACCIÓN Y REACCIÓN

¿POR QUÉ VUELAN LOS COHETES?

Incluso entre personas que han estudiado Física es frecuente oír explicaciones completamente falsas del vuelo de los cohetes, como ésta, por ejemplo: vuelan porque los gases que se forman dentro de ellos al quemarse la pólvora empujan al aire.

Así se pensaba antiguamente (los cohetes son un invento antiquísimo) y hasta ahora hay muchos que siguen pensando igual. Pero si un cohete se lanza en el vacío volará aún más de prisa que en el aire. La causa verdadera del movimiento de los cohetes es otra totalmente distinta.

El revolucionario ruso Kibalchich describió esta causa con mucha claridad y sencillez en unas notas escritas antes de ser ejecutado, en las cuales daba a conocer una máquina volante inventada por él.

 Figura 1. La máquina (turbina) de vapor más antigua, llamada "eolípila", que se atribuye a Herón de Alejandría

Así explicaba Kibalchich la forma y manera de funcionar del motor cohete que debía servir de propulsión al aparato, capaz de transportar pasajeros y carga:

"Dentro de un cilindro de hojalata, cerrado por una de sus bases y abierto por la otra, se coloca una carga cilíndrica de pólvora prensada en cuya parte central, a lo largo de su eje, hay un canal hueco. La combustión de la pólvora comienza por la superficie de este canal y se propaga durante un tiempo determinado, hasta que llega a la superficie exterior de la pólvora prensada. Los gases producidos por la combustión presionan en todas las direcciones; pero mientras las presiones laterales de estos gases se equilibran entre sí, la presión sobre el fondo de la envoltura de hojalata en que se encuentra la pólvora no tiene presión contraria que la equilibre (puesto que por este lado los gases pueden salir libremente) y empuja al cohete hacia adelante, en la dirección en que éste se colocó en el banco de lanzamiento antes del encendido".

Aquí ocurre lo mismo que cuando dispara un cañón: el proyectil sale disparado hacia adelante, mientras que el cañón sufre un empuje hacia atrás. Este es el conocido retroceso o "culatazo" de las escopetas y de todas las armas de fuego. Si el cañón estuviera colgado en el aire, sin apoyarse en el suelo, después del disparo se movería hacia atrás con cierta velocidad, que sería tantas veces menor que la del proyectil como la masa de este último es menor que la del cañón. Julio Verne, en su novela fantástica "Boca Abajo", cuenta cómo los norteamericanos proyectaron aprovechar la fuerza del retroceso de un cañón colosal para realizar una empresa grandiosa, la de "enderezar el eje de la Tierra".

Figura 2. Automóvil de vapor, que se atribuye a Newton.

Un cohete también es un cañón, con la única diferencia de que en vez de proyectiles lanza los gases de la combustión de la pólvora. Este mismo principio es el que se aplica en la "rueda china" o rueda de los fuegos artificiales, en la cual, cuando arde la pólvora contenida en unos tubos sujetos a la rueda, los gases escapan hacia atrás y los tubos (junto con la rueda) se mueven hacia adelante. En realidad esto no es más que una variante del aparato físico que todos conocen con el nombre de rueda de Segner.

Es interesante señalar que antes de la invención del barco de vapor existió un proyecto de barco mecánico basado en el principio de la reacción. Según este proyecto el barco estaría provisto de una potente bomba impelente que expulsaría el agua por la popa, corno resultado de lo cual el barco debería moverse hacia adelante, lo mismo que las latas flotantes que en los gabinetes de Física de las escuelas sirven para demostrar este principio. El proyecto no llegó a realizarse, pero desempeñó un papel importante en la invención del barco de vapor, puesto que sugirió esta idea a Fulton.

También sabemos que la máquina de vapor más antigua, es decir, la eolípila de Herón de Alejandría, construida en el siglo II, funcionaba por el mismo principio, es decir, el vapor de una caldera (Figura 1) llegaba a una esfera hueca, sujeta a un eje horizontal, y desde ella salía por unos tubos acodados, con lo cual empujaba a estos tubos en sentido contrario y la esfera comenzaba a girar. La turbina de vapor de Herón no sirvió en la antigüedad más que como juguete ingenioso, ya que el trabajo de los esclavos era tan barato que nadie se preocupó de encontrarle una aplicación práctica a la máquina. Pero el principio en que se funda no fue olvidado por la técnica. En nuestros días este principio se utiliza en las turbinas a reacción.

A Newton, autor de la ley de la acción y reacción, se le atribuye uno de los proyectos más antiguos de automóvil de vapor (Figura 2). Este automóvil debía constar de una caldera, montada sobre ruedas, de la que el vapor salía por una tobera posterior, mientras que la propia caldera, debido a la fuerza de retroceso, avanzaba sobre las ruedas en sentido contrario.

Los automóviles cohete son una variante moderna del carro de Newton.

RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO

ACERAS MÓVILES

En el principio del movimiento relativo se basa también otro dispositivo que hasta ahora se utiliza únicamente en las exposiciones; nos referimos a las llamadas "aceras móviles". Por primera vez se emplearon en la exposición de Chicago del año 1893 y después en la Exposición Universal de París del ario 1900.

En la Figura 1 se representa un esquema de este dispositivo. En este esquema se pueden ver cinco bandas—aceras cerradas que se mueven unas dentro de otras, a diferentes velocidades, por medio de un mecanismo especial.

La banda exterior se mueve bastante despacio, a 5 km por hora: esta es la velocidad ordinaria de un peatón y, por consiguiente, no es difícil subirse a ella. Junto a ésta se mueve una segunda banda a 10 km por hora. Poner el pie directamente en ella desde el suelo fijo de la calle sería peligroso, pero pasar desde la primera banda no cuesta ningún trabajo. En realidad, con respecto a la primera banda, cuya velocidad es de 5 km, la segunda, que marcha a 10 km por hora, solamente tiene una velocidad relativa de 5 km por hora; por lo tanto, pasar desde la primera a la segunda banda es tan sencillo como pasar desde el suelo fijo a la primera. La tercera banda se mueve a 15 km por hora, pero el paso a ella desde la segunda no presenta dificultad.

Figura 1. Aceras móviles

Con la misma facilidad se puede pasar desde la tercera a la cuarta, cuya velocidad es de 20 km por hora, y desde ésta a la quinta, que se desliza a 25 km por hora. Esta última banda es la que transporta a los viajeros hasta el punto que deseen, donde para salir a tierra firme irán pasando sucesivamente y en sentido contrario de banda en banda.

APLICACIÓN DEL MOVIMIENTO PARABÓLICO

LANZAMIENTO DE BOMBAS

Cuando un piloto ha de lanzar una bomba en un sitio determinado, tiene que resolver un problema difícil, puesto que ha de tener en cuenta la velocidad del avión, la resistencia del aire y la velocidad del viento.

En la Figura 1 se representan esquemáticamente las trayectorias que describe una bomba según las condiciones en que se realice el lanzamiento. Si no hace viento, la bomba seguirá la curva AF; en el ejemplo anterior dijimos ya por qué esta curva precisamente.

Figura 1. Trayectorias que siguen las bombas lanzadas desde un avión: AF, cuando no hace viento; AG, con viento favorable (de cola); AD, AC, con viento contrario (de proa); EA, con viento contrario arriba y favorable abajo

Si hace viento favorable (de cola arrastrará la bomba hacia adelante y ésta describirá la curva AG. Si el viento es contrario (de proa) y de poca fuerza, la bomba caerá siguiendo la curva AD (si el viento sopla con la misma fuerza y en la misma dirección en las capas superiores y en las inferiores); si el viento, como suele ocurrir, tiene abajo una dirección y arriba otra (por ejemplo, arriba en contra y abajo a favor), la trayectoria de caída cambiará de forma y tomará el aspecto representado por la curva AE.

APLICACIÓN DEL MOVIMIENTO SEMIPARABÓLICO

UNA CARTA DESDE UN AVIÓN

Figurémonos que vamos viajando en un avión que vuela rápido sobre la tierra. Abajo se ven lugares conocidos. Ahora vamos a pasar por encima de la casa de un amigo nuestro. "No estaría mal mandarle un saludo" — pensamos de repente. Escribimos apresuradamente unas cuantas palabras en una hoja de papel, la atamos a cualquier objeto pesado (que en adelante llamaremos "peso") y, en cuanto nos encontramos exactamente encima de la casa, lo dejamos caer.

¿Caerá la carta en casa de nuestro amigo? No, no caerá, aunque su huerto y su casa estaban exactamente debajo cuando soltamos el peso.

Si hubiéramos podido observar su caída desde el avión hubiésemos visto un fenómeno extraño: el peso cae, pero sigue encontrándose durante todo el tiempo debajo del avión, lo mismo que si fuera resbalando por un hilo invisible. Por eso, cuando el peso llega a tierra, el sitio donde cae está mucho más adelante que el que elegimos al soltarlo.

Aquí volvemos a encontrarnos con la ley de la inercia que nos impidió viajar por el método de Bergerac. Mientras el peso estaba en el avión se movía a la misma velocidad que él. Al soltarlo, comenzó a caer y a separarse del avión, pero como no perdió la velocidad que tenla, siguió avanzando en el aire en la misma dirección que antes. En estas condiciones el peso tenía dos movimientos, uno hacia abajo y otro horizontal hacia adelante. Estos dos movimientos se suman y, como resultado, el peso cae siguiendo una curva y permaneciendo siempre debajo del avión (si este último no cambia de dirección o de velocidad).

El peso se comporta en este caso lo mismo que cualquier objeto lanzado horizontalmente, por ejemplo, como una bala disparada con un fusil en posición horizontal: el objeto describe una trayectoria en forma de arco que acaba en la superficie de la tierra.

Todo lo que acabamos de decir sería completamente justo si no existiera la resistencia del aire. Pero en realidad esta resistencia frena tanto el movimiento vertical del peso como el horizontal, por lo que en vez de encontrarse, durante todo el tiempo que dura la caída debajo del avión, se retrasa un poco con respecto a él.

 Figura 1. Un peso dejado caer desde un avión en vuelo no cae verticalmente, sino siguiendo una curva.

La desviación de la vertical de lanzamiento puede ser muy considerable, sobre todo si el avión vuela alto y a gran velocidad. Si no hace viento, un peso soltado desde un avión que se halle a 1.000 m de altura y que vuele con una velocidad de 100 km por hora, caerá 400 metros más allá del sitio que se encontraba exactamente debajo del avión cuando se dejó caer (Figura 1).

Si se desprecia la resistencia de aire el cálculo no es difícil.

Por la fórmula del camino recorrido con movimiento uniformemente acelerado

de donde tenemos que el tiempo que tarda en caer el peso

siendo g la aceleración de la gravedad, igual a 9,8 m/seg2. Por lo tanto, si el objeto cae desde 1.000 m de altura, tardará en llegar al suelo

es decir 14 segundos.

Durante este tiempo avanzará en dirección horizontal

UNA CURIOSIDAD MENTIROSA

EL PROCEDIMIENTO MÁS BARATO DE VIAJAR

El ingenioso escritor francés del siglo XVII Cyrano de Bergerac cuenta en su "Historia Cómica de los Estados e Imperios de la Luna" (1652), entre otras cosas, un caso sorprendente que, según dice, le ocurrió a él mismo. Un día, cuando estaba haciendo experimentos de Física, fue elevado por el aire de una forma incomprensible con sus frascos y todo. Cuando al cabo de varias horas consiguió volver a tierra quedó sorprendido al ver que no estaba ni en Francia, ni en Europa, sino en América del Norte, ¡en el Canadá!

No obstante, el escritor francés consideró que este vuelo transatlántico era completamente natural. Para explicarlo dice que mientras el "viajero a la fuerza" estuvo separado de la superficie terrestre, nuestro planeta siguió girando, como siempre, hacia oriente, y que por eso al descender sentó sus pies no en Francia, sino en América.

¡Qué medio de viajar más fácil y económico! No hay más que elevarse sobre la superficie de la Tierra y mantenerse en el aire unos cuantos minutos para que al descender nos encontremos en otro lugar, lejos hacia occidente. ¿Para qué emprender pesados viajes por tierra o por mar, cuando podemos esperar colgando en el aire hasta que la misma Tierra nos ponga debajo el sitio a donde queremos ir?

Figura 1. ¿Se puede ver desde un aeróstato cómo gira la Tierra? (El dibujo no se atiene a escala)

Desgraciadamente este magnífico procedimiento es pura fantasía. En primer lugar, porque al elevarnos en el aire seguimos sin separarnos de la esfera terrestre; continuamos ligados a su capa gaseosa, es decir, estaremos como colgados en la atmósfera, la cual también toma parte en el movimiento de rotación de la Tierra alrededor de su eje. El aire (o mejor dicho, su capa inferior y más densa) gira junto con la Tierra y arrastra consigo todo lo que en él se encuentra: las nubes, los aeroplanos, los pájaros en vuelo, los insectos, etc., etc. Si el aire no tomara parte en el movimiento de rotación de la Tierra sentiríamos siempre un viento tan fuerte, que los huracanes más terribles parecerían ligeras brisas comparadas con él (La velocidad del huracán es de 40 m por segundo o 144 km por hora. Pero la Tierra, en una latitud como la de Leningrado, por ejemplo, nos arrastraría a través del aire con una velocidad de 240 m por segundo, es decir, de 828 km por hora, y en la región ecuatorial, por ejemplo, en Ecuador, esta velocidad sería de 465 m por segundo, o de 1.674 km por hora).

Porque lo mismo da que estemos nosotros fijos en un sitio y que el aire pase junto a nosotros o que, por el contrario, sea el aire el que está quieto y nosotros los que nos movemos dentro de él; en ambos casos el viento será igual de fuerte. Por ejemplo, un motociclista que avance a una velocidad de 100 km por hora sentirá un viento fuerte de frente aunque el aire esté en calma.

En segundo lugar, aunque pudiéramos remontarnos hasta las capas superiores de la atmósfera o la Tierra no estuviera rodeada de aire, el procedimiento de viajar económicamente ideado por el satírico francés sería también irrealizable. Efectivamente, al separarnos de la superficie de la Tierra en rotación continuaríamos por inercia moviéndonos con la misma velocidad que antes, es decir, con la misma velocidad a que se movería la Tierra debajo de nosotros. En estas condiciones, al volver a la Tierra nos encontraríamos en el mismo sitio de donde partimos, de igual manera que cuando damos saltos dentro de un vagón de ferrocarril en marcha caemos en el mismo sitio. Es verdad que por inercia nos moveremos en línea recta (tangencialmente a la superficie terrestre), mientras que la Tierra seguiría un arco debajo de nosotros, pero tratándose de lapsos de tiempo pequeños esta diferencia no se nota.

EL SONIDO Y LAS EXPLOSIONES

UNA EXPLOSIÓN IMAGINARIA

La competición de velocidades entre el cuerpo que vuela y el sonido que produce nos obliga a veces a cometer errores involuntarios que con frecuencia no corresponden en absoluto a la realidad del fenómeno.

                                             Figura1. Explosión ilusoria de un bólido.

Un ejemplo curioso es el de un bólido (o el de un proyectil) que pasa volando muy alto sobre nuestras cabezas. Los bólidos que procedentes del espacio interplanetario penetran en la atmósfera de la Tierra, a pesar de ser frenados por la resistencia del aire, tienen velocidades enormes que son decenas de veces mayores que la velocidad del sonido.

Cuando los bólidos cortan el aire suelen producir un ruido parecido al de un trueno. Figúrese el lector que nos encontramos en el punto C (Figura 1) y que sobre nosotros pasa un bólido siguiendo la línea AB. El sonido que produce el bólido en el punto A nos llegará (a C) cuando aquél se encuentre en el punto B, y como el bólido tiene una velocidad mucho mayor que la del sonido, puede llegar al punto D v mandarnos desde allí un ruido que llegue a nosotros antes que el procedente del punto A. Por esto oiremos antes el sonido que viene del punto D y después el que llega del A. Pero como desde el punto B también nos llega el sonido después que del D, es de suponer que habrá un punto K sobre nuestras cabezas desde 'el cual el ruido del bólido nos llegará antes que desde ningún otro punto. Los aficionados a las matemáticas pueden calcular la posición de este punto estableciendo una relación determinada entre la velocidad del bólido y la del sonido.

De lo antedicho se deduce lo siguiente: Lo que oímos en este caso no se parece en nada a lo que vemos. Para los ojos el bólido aparece en el punto A y desde aquí sigue la línea AB. Pero para el oído el bólido hace su aparición en el punto K, que se halla aproximadamente sobre nuestras cabezas, y después oímos al mismo tiempo dos sonidos que se van apagando en dos direcciones opuestas, es decir, de K a A y de K a B. En otras palabras, oímos algo parecido a lo que ocurriría si el bólido se dividiera en dos partes que salieran lanzadas en direcciones opuestas. Pero no se produjo ninguna explosión. Esto demuestra hasta qué punto pueden ser engañosas las sensaciones acústicas. Es posible que muchos de los casos de explosiones de bólidos declarados por "testigos presenciales" no fueran más que ilusiones acústicas de este tipo.